Aplikasi Maple

APLIKASI MAPLE DALAM OPERASI LIMIT Laporan Praktikum Matematika Oleh Lailatul Badriyah NIM 121810301036 JURUSAN KIMIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2012 BAB 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Limit merupakan operasi matematika yang tidak asing lagi bagi seorang mahasiswa. Namun tidak dipungkiri bahwa dalam menyelesaikan operasi limit membutuhkan waktu yang cukup lama karena harus menyelesaikan perhitungan-perhitungan yang cukup rumit dan hasilnya pun belum tentu kebenarannya. Tetapi semua masalah itu saat ini sudah bisa diatasi oleh program aplikasi Maple. Dalam program aplikasi Maple, kita hanya menuliskan perintah limit saja, lalu operasi limit akan terselesaikan dengan cepat dengan hasil yang maksimal. Dan untuk mempelajari perintah-perintah yang digunakan pada Maple bukanlah hal yang rumit. 1.1 Rumusan Masalah Setelah mengetahui latar belakang penulisan ini, adapun rumusan masalah penulisan ini adalah sebagai berikut: a. Bagaimana cara menyelesaikan operasi limit fungsi pada aplikasi Maple? 1.2 Tujuan Dan Manfaat Berikut ini adalah tujuan dan manfaat dari penulisan ini adalah sebagai berikut: A. Tujuan a. Mengetahui cara menyelesaikan operasi limit fungsi pada aplikasi Maple. b. Manfaat Dengan adanya aplikasi Maple ini sangatlah membantu para siswa, mahasiswa, dan para pengamat matematika dalam menyelesaikan operasi matematika yang rumit dan membutuhkan waktu yang lama. Salah satunya operasi limit.Dan dengan mempelajari cara mengaplikasikan operasi limit pada aplikasi Maple, secara tidak langsung dapat membantu kita dalam menyelesaikan operasi limit secara cepat dan tepat. BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA Diketahui fungsi f : R → R yang ditentukan oleh f(x) = 2x – 1. Jika variabel x diganti dengan 3, maka f(3) = 2⋅ 3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati f(x) jika variabel x mendekati 3? Untuk menjawab persoalan ini diperlukan tabel sebagai berikut. Table 2.1 X F(x) 1,5 2 1,75 2,5 2,75 4 2,85 4,5 2,95 4,7 2,97 4,94 2,98 5,96 2,99 4,98 …. …. Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3, maka nilai f(x) mendekati 5. Apakah nilai f(x) akan mendekati 5 jika x lebih besar dari 3? Untuk menjawabnya kita lihat tabel berikut ini. Table 2.2 x F(x) … … 3,01 5,02 3,10 5,20 3,25 5,50 3,50 6,00 3,50 6,50 3,75 6,50 4,25 7,50 …. …. Dari tabel dapat dilihat bahwa jika x mendekati 3 dari pihak lebih dari 3 maka nilai f(x) mendekati 5, sehingga dikatakan bahwa fungsi f(x) = 2x – 1 mempunyai limit 5 untuk x mendekati 3 dan ditulis “jika f(x) = 2x – 1, maka =5 rtinya jika x mendekati a (tetapi x≠a ) maka f(x) mendekati nilai L (miyanto,1982:199). Nilai limit Sintaks perintah Maple untuk mencari adalah sebagai berikut: > limit (f(x), x=a, dir ); Dengan f(x) adalah fungsi yang telah didefinisikan sebelumnya, a adalah titik yang akan dicari limit fungsinya, sedangkan dir dapat diganti dengan left atau right yang masing-masing menunjukkan arah limit dari kiri atau kanan. Penggunaan dir adalah optional. Apabila dir tidak diberikan, maka Maple akan langsung mencari nilai limit fungsi. Contoh : Tentukan – 1) Penyelesaian : > f:=(x)->x^2-1; > limit(f(x),x=1,left); > limit(f(x),x=1,right); Perintah kedua untuk mencari limit f (x) untuk Sedangkan yang ketiga untuk untuk mencari limit f (x) untuk . Dari kedua arah limit, akan diperoleh hasil limit yang sama yaitu 0. Dengan demikian limit f (x) untuk x1 adalah 0. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa nilai limit sebenarnya dari f (x) untuk x1 (tanpa mencari nilai limit dari kiri maupun kanan) dengan Maple adalah juga 0. > limit(f(X),x=1); Hasil perintah tersebut akan menunjukkan 0. Dengan demikian akan diperoleh hasil limit yang sama apabila digunakan konsep limit kiri dan kanan. Contoh : Tentukan : Penyelesaian: > f:=(x)->(2*x^3+2*x^2-1)/(x^3+4); > limit(f(x),x=infinity); Perintah infinity pada perintah di atas bermakna tak hingga (sahidin,2009:24) Sifat-sifat limit fungsi Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c. maka: 1. =k 2. =c 3. 4. 5. 6. 7. ,asalkan (prayudi,2006:72) BAB 3.METODOLOGI 3.1 Alat dan bahan 3.1.1 Alat a) Windows XP. b) Komputer, laptop atau pun notbook c) Memori Bebas pada Harddisk sebesar 65 MB d) 8 bit graphics adaptor dan monitor yang mendukung 256 warna pada resolusi 640x480 e) RAM sebesar 32 MB untuk windows XP f) Program aplikasi Maple 13 3.1.2 Bahan a. Soal-soal fungsi dalam aplikasi Maple. 3.2 Cara Kerja a) Tekan tombol ON pada CPU b) Tekan tombol ON/OFF pada layar komputer c) Jika belum tersedia program aplikasi Maple maka install program aplikasi Maple terlebih dahulu. d) Klik dua kali pada program aplikasi Maple yang sudah tersedia pada desktop. Jika tidak tersedia pilih all program setelah itu pilih Maple 13 kemudian pilih classic worksheet Maple 13 e) Lakukan perintah pada Maple sesuai dengan yang diberikan asisten. f) Setelah menyelesaikan percobaan simpan file di dalam flashdisk masing-masing. g) Matikan komputer dengan cara klik start pilih shut down. BAB 4. PEMBAHASAN 4.1 Cara menyelesaikan limit pada aplikasi Maple Menyelesaikan operasi limit bukanlah hal yang rumit jika dikerjakan menggunakan aplikasi Maple. Selain dipermudah dalam penyelesainnya. Dalam aplikasi Maple ini penyelesaian limit tidak membutuhkan waktu yang lama, asalkan mengetahui cara menuliskan perintah pada Maple. Berikut ini adalah contoh penerepan penyelesaian operasi limit pada aplikasi Maple. Berikut ini adalah contoh perintah untuk mendefinisikan operasi limit pada aplikasi Maple: > L:=Limit((t^3-8)/(t^2-t-6),t=2); > M:=Limit(((6-x)/(x^2-4)-(1/(x-2))),x=2); > L+M; Perintah untuk mengetahui hasil limit. Untuk mendefinisan suatu limit dapat dituliskan kata limit di awal dengan huruf awal menggunakan huruf kapital. Dan ada dua cara untuk mengetahui hasil limit yang pertama dapat menggunakan value(%) dan yang kedua dapat menggunakan penulisan limit dengan huruf depan kecil (“limit”). > restart; > Limit((t^3-8)/(t^2-t-6),t=2); > value(%); > limit((t^3-8)/(t^2-t-6),t=2); > Limit(((6-x)/(x^2-4)-(1/(x-2))),x=2); > value(%); > limit(((6-x)/(x^2-4)-(1/(x-2))),x=2); > L+M; > value(%); > L/M; > value(%); Berikut ini adalah contoh limit trigonometri > Limit((cos(2*y))/(sin(y)-cos(y)),y=Pi/4); > value(%); > limit((cos(2*y))/(sin(y)-cos(y)),y=Pi/4); Contoh operasi limit dalam bentuk akar yang diselesaikan menggunakan aplikasi Maple: > limit(((6-x)/(x^2-4)-(1/(x-2))),x=2); > Limit((x-1)/(1-sqrt(x)),x=1,right); > value(%); > limit((x-1)/(1-sqrt(x)),x=1,right); > Limit((sqrt((2*x-5)*(2*x-1))-(2*x-5)),x=infinity); > value(%); > limit((sqrt((2*x-5)*(2*x-1))-(2*x-5)),x=infinity); Perintah untuk mencari limit f (x) untuk x 1- dan untuk untuk mencari limit f (x) untuk x 1+. Adalah sebagai berikut : > restart; > limit(x-1,x=1); > Limit(x-1,x=1,left); > Limit(x-1,x=1,right); > Limit(x-1,x=1,real); > limit(x-1,x=1,real); . BAB 5. PENUTUP 5.1 Kesimpulan Dalam aplikasi Maple operasi limit memiliki beberapa perintah yaitu: a. Perintah untuk mendefinisikan operasi limit pada aplikasi Maple: > L:=Limit((t^3-8)/(t^2-t-6),t=2); b. Perintah untuk mengetahui hasil limit. Ada dua cara untuk mengetahui hasil limit yang pertama dapat menggunakan value(%) dan yang kedua dapat menggunakan penulisan limit dengan huruf depan kecil (“limit”). c. Perintah untuk mencari limit f (x) untuk x 1- dan untuk untuk mencari limit f (x) untuk x 1+. Adalah sebagai berikut : > limit(x-1,x=1); > Limit(x-1,x=1,left); > Limit(x-1,x=1,right); 5.2 Saran Agar lebih memahami dan mengetahui program aplikasi Maple lebih dalam, dapat membaca buku-buku refrensi yang terkait atau mencari sumber-sumber dari internet serta seringlah berlatih menggunakan aplikasi maple ini dalam menyelesaikan perintah-perintah atau pun masalah oprasi limit. DAFTAR PUSTAKA Sahidin. 2006. Pembelajaran Matematika Dengan Maple. Jakarta: Citra media. Prayudi. 2006. Matematika. Jakarta: Erlangga. Miyanto. 1982. Operasi Matematika. Jakarta: Karunika. LAMPIRAN > restart; 1. h:=(x)->Limit(x^3+3*x^2-2*x-17,x=1); > value(%); > limit(x^3+3*x^2-2*x-17,x=1); > iscont(h,x=infinity..-infinity,'open'); 2. i:=(x)->Limit((x+4)/(x^2-16),x=4); > value(%); > limit((x+4)/(x^2-16),x=4); > iscont(i,x=infinity..-infinity,'open'); 3. j:=(x)->Limit(cos(x)^(1/x^2),x=0); > value(%); > limit(cos(x)^(1/x^2),x=0); > iscont(j,x=infinity..-infinity,'open'); 4. k:=(x)->Limit((1+sin(x))^(1/x),x=0); > value(%); > limit((1+sin(x))^(1/x),x=0); > iscont(k,x=infinity..-infinity,'open'); 5. l:=(x)->Limit(sin(x)/x,x=infinity); > value(%); > limit(sin(x)/x,x=infinity); > iscont(l,x=infinity..-infinity,'open'); 6. m:=(x)->Limit((sin(x)-sin(a))/x,x=a); > value(%); > limit((sin(x)-sin(a))/x,x=a); > iscont(m,x=infinity..-infinity,'open'); 7. n:=(x)->Limit((cos(Pi*x/2))/(1-sqrt(x)),x=1); > value(%); > limit((cos(Pi*x/2))/(1-sqrt(x)),x=1); > iscont(n,x=infinity..-infinity,'open'); 8. o:=(x)->Limit(log(2*x+1)-log(x+2),x=0); > value(%); > limit(log(2*x+1)-log(x+2),x=0); > iscont(o,x=infinity..-infinity,'open'); 9. .p:=(x)->Limit(((1/2)*log((1+x)/(1-x)))/n,x=0); > value(%); > limit(((1/2)*log((1+x)/(1-x)))/n,x=0); > iscont(p,x=infinity..-infinity,'open'); 10. q:=(x)->Limit((1-exp(-x))/sin(x),x=0); > value(%); > limit((1-exp(-x))/sin(x),x=0); > iscont(q,x=infinity..-infinity,'open'); 11. r:=(x)->Limit((exp(a*x)-exp(b*x))/x,x=0); > value(%); > limit((exp(a*x)-exp(b*x))/x,x=0); > iscont(r,x=infinity..-infinity,'open');