laporan himpunan

APLIKASI MAPLE DALAM HIMPUNAN Laporan Praktikum Matematika Oleh Lailatul Badriyah NIM 121810301036 JURUSAN KIMIA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2012 BAB 1. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan nyata,banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan sebagai himpunan. Dan dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna. Oleh karena itu perhitungan tentang operasi himpunan sangatlah diperlukan dalam kehidupan. Dengan adanya aplikasi maple sangat membantu proses perhitungan dalam operasi himpunan. Selain mempermudah hitungan operasi himpunan aplikasi maple juga membantu mempercepat waktu dalam penyelesaian himpunan. Untuk memperoleh itu semua kita harus mengetahui perintah-perintah yang digunakan pada aplikasi maple untuk operasi himpunan. 1.2 Rumusan Masalah a. Bagaimana cara menyelesaikan operasi himpunan pada aplikasi maple? 1.3 Tujuan dan Manfaat 1.3.1 Tujuan a. Mengetahui cara menyelesaikan operasi himpunan pada aplikasi maple 1.3.2 Manfaat Dengan adanya aplikasi Maple ini sangatlah membantu para siswa, mahasiswa, dan para pengamat matematika dalam menyelesaikan operasi matematika yang rumit dan membutuhkan waktu yang lama. Salah satunya operasi himpunan. Dan dengan mempelajari cara mengaplikasikan operasi himpunan pada aplikasi Maple, secara tidak langsung dapat membantu kita dalam menyelesaikan operasi limit secara cepat dan tepat. BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA Konsep himpunan adalah suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Secara intuitif, sebuah himpunan adalah setiap daftar, kumpulan atau kelas obyek-obyek yang didefinisikan secara jelas. Obyek-obyek dalam himpunan –himpunan sebagaimana akan sebagaimana akan kita lihat dari contoh-contoh yang diberikan, dapat berupa apa saja: bilangan, orang, surat, sungai, dan sebagainya. Obyek-obyek ini disebut elemen atau anggota-anggota dari himpunan (Seymour,1995). Operasi Himpunan Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan komplemen, selisih dan beda setangkup. a. Irisan ( intersection ) Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ∩ ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B } Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah : 1. Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3} 2. Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas) maka A ∩ B = ∅ . Hal ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B. b. Gabungan (union) Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ∪ ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah : Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1,2, 3,4,5,7} A ∪ ∅ = A c. Komplemen (complement) Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh : A = { x | x ∈ U dan x ∉ A } Jika dinyatakan dalam b entuk diagram Venn adalah : Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 5, 6, 8} jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A = { 1, 3, 5, 7, 9 } contoh lainnya adalah: A = himpunan mahasiswa STT Telkom B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama C = himpunan mahasiswa angkatan 2004 D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus a. Pernyataan “Semua mahasiswa STT Telkom angkatan 2004 yang membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut : ( A ∩ C) ∩ E b. Pernyataan “Semua mahasiswa STT Telkom yang tinggal di asrama dan tidak mengambil matematika diskrit” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut : A ∩ B ∩ D c. Pernyataan “semua mahasiswa angkatan 2004 yang tidak tinggal di asrama atau tidak membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut : C ∩ ( B ∪ E ) d. Selisih ( difference) Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B Contoh : Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B – A = ∅ e. Beda Setangkup ( Symmetric Difference) Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘ ⊕ ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh : A ⊕ B = ( A ∪ B) – ( A ∩ B) = (A – B) ∪ ( B – A) Contoh : Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 } Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif) (b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ ( B ⊕ C ) (hukum asosiatif) f. Perkalian Kartesian (cartesian product) Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘× ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh : A × B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B } Contoh : (i) Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang datar Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan. Dengan demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka: Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A × B ≠ B × A dimana A atau B bukan himpunan kosong. Jika A = ∅ atau B = ∅, maka A × B = B × A = ∅ (wahyudi,2006:5,6,7). Hukum-hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut: 1. Hukum identitas: − A ∪ ∅ = A − A ∩ U = A 2. Hukum null /dominasi: − A ∩ ∅ = ∅ − A ∪ U = U 3. Hukum komplemen: − A ∪ A = U − A ∩ A = ∅ 4. Hukum idempoten: − A ∪ A = A − A ∩ A = A 5. Hukum involusi: (A) = A 6. Hukum penyerapan (absorpsi): − A ∪ ( A ∩ B) = A − A ∩ ( A ∪ B) = A 7. Hukum komutatif: − A ∪ B = B ∪ A − A ∩ B = B ∩ A 8. Hukum asosiatif: − A ∪ ( B ∪ C) = ( A ∪ B) ∪ C − A ∩ ( B ∩ C) = ( A ∩ B) ∩ C 9. Hukum distributif: − A ∪ ( B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) − A ∩ ( B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) 10. Hukum De Morgan: − B A ∩ = B A ∪ − B A ∪ = B A ∩ 11. Hukum komplemen − ∅ = U − U = ∅ (wahyudi,2006). BAB 3.METODOLOGI 3.1 Alat dan bahan 3.1.1 Alat Windows XP. a) Komputer, laptop atau pun notbook b) Memori Bebas pada Harddisk sebesar 65 MB 8 bit graphics adaptor dan monitor yang mendukung 256 warna pada resolusi 640x480 c) RAM sebesar 32 MB untuk windows XP d) Program aplikasi Maple 13 3.1.2 Bahan a) Soal-soal himpunan dalam aplikasi Maple. 3.2 Cara Kerja a) Tekan tombol ON pada CPU b) Tekan tombol ON/OFF pada layar computer c) Jika belum tersedia program aplikasi Maple maka install program aplikasi Maple terlebih dahulu. d) Klik dua kali pada program aplikasi Maple yang sudah tersedia pada desktop. Jika tidak tersedia pilih all program setelah itu pilih Maple 13 kemudian pilih classic worksheet Maple 13 e) Lakukan perintah pada Maple sesuai dengan yang diberikan asisten. f) Setelah menyelesaikan percobaan simpan file di dalam flashdisk masing-masing. g) Matikan komputer dengan cara klik start pilih shut down. BAB 4. PEMBAHASAN 4.1 Cara Menyelesaikan Operasi Himpunan Pada Maple Di dalam kehidupan sehari-hari, sebenarnya kita sudah mengenal tentang himpunan. Contohnya, sekawanan lembu,sekumpulan ikan, dan sekelompok burung. Masing-masing kata“kawanan”, “kumpulan”, dan “kelompok” dapat diganti dengankata “himpunan”. Oleh karena itu kata himpunan bukanlah hal yang asing lagi di sekitar kita. Dan untuk menyelesaikan operasi himpunan dalam aplikasi Maple, tentunya membutuhkan perintah-perintah tertentu untuk mendapatkan hasil dari sebuah operasi himpunan. Berikut ini adalah cara mendefinisikan operasi himpunan dalam aplikasi Maple : > a:={1,2,3,4,5}; Langkah pertama yaitu tuliskan huruf pemisalan seperti a,b,c, dan lain sebagainya setelah itu tambahkan titik dua sama dengan kemudian kurung kurawal lalu tuliskan anggota himpunannya setelah itu kurung kurawal tutup dan jangan lupa tambahkan titik koma untuk mendapatkan hasilnya. Namun untuk pendefinisian juga dapat dilakukan tanpa penulisan huruf pemisalan, seperti contoh dibawah ini. > {1,2,3,4,5}; Jadi yang harus dituliskan hanyalah anggota dari himpunannya saja. Dan jika hanya menuliskan anggota himpunannya saja, anda tidak bisa mendapatkan hasil pendefinisian dari himpunan tersebut. Seperti contoh dibawah ini > a:={1,2,3,4,5}; > a; Dengan menuliskan huruf pemisalannya saja dan titik koma, anda sudah mendapatkan hasil dari pendefinisian tersebut. Dalam operasi himpunan anggota yang berulang dan tidak urut akan disederhanakan oleh aplikasi Maple. Dengan cara mendifinisikan anggota himpunan yang berulang hanya dituliskan satu kali tanpa pengulangan, sedangkan anggota himpunan yang tidak urut akan diurutkan sesuai dengan urutannya, jika anggotanya berupa angka akan diurutkan sesuai urutan angka dan jika anggotanya berupa kata per kata, akan diurutkan sesuai urutan abjad. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini: > d:={1,1,1,3,3,4,4,5,5,2,4}; > c:={laila,baik,sekali}; Terlihat pada contoh diatas pendefinisian dalam aplikasi Maple tidak ada yang berulang dan semuanya urut sesuai urutan masing-masing. Selain digunakan untuk mendefinisikan operasi himpunan, aplikasi maple juga dapat digunakan untuk mengidentifikasi anggota–anggota dalam sebuah himpunan. Mengidentifikasi anggota ini bertujuan untuk mecari tahu benar tidaknya atau ada tidaknya anggota dalam himpunan. Berikut ini adalah contoh mengidentifikasi anggota dalam himpunan: Perintah yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi anggota yaitu member atau evalb. Untuk member caranya yaitu tuliskan member lalu kurung buka anggota yang ingin di identifikasi kemudian tanda koma lalu spasi kemudian huruf pemisalan yang digunakan, akhiri dengan kurung tutup dan titik koma kemudian enter. Maka akan diketahui kebenarannya > a:={1,2,3,4,5}; > member(6, a); > member(2, a); Dan untuk evalb perintah yang digunakan yaitu tuliskan evalb kurung buka anggota yang ingin di identifikasi, spasi, in spasi huruf pemisalan lalu kurung tutup, titik koma, enter. Setelah itu akan diketahui kebenarannya. Dan berikut ini adalah contoh pengaplikasian dalam Maple > evalb(1 in a); > evalb(6 in a); Dan untuk mengetahui anggota yang menempati posisi tertentu. Dapat digunakan perintah sebagai berikut: Huruf pemisalan kemudian tanda kurung buka posisi yang ingin ditentukan anggotanya lalu kurung tutup dan titik koma kemudian enter. > a:={1,2,3,4,5}; > a[3]; > b:={laila,baik,sekali}; > b[1]; Dan untuk memperoleh anggota dari belakang dapat mengunakan tanda min(-). Seperti contoh di bawah ini: > p:={k,m,t,g,h}; > p[-2]; Selain dapat mendefinisikan sebuah himpunan, aplikasi Maple juga dapat menyelesaikan operasi himpunan. Berikut ini adalah beberapa contoh penyelesaian operasi himpunan dengan menggunakan aplikasi Maple. 1. Irisan Pada aplikasi Maple tanda irisan (digantikan oleh intersect. Perhatikan contoh dibawah ini: > a:={1,2,3,4}; > b:={4,5,6,7}; Setelah mendefinisikan lakukan langkah berikut untuk memperoleh a irisan b: > a intersect b; 2. Gabungan Pada aplikasi Maple untuk memperoleh nilai himpunan maka dapat digunakan perintah sebagai berikut: Langkah pertama definisikan anggota himpunannya dengan menggunakan pemisalan > a:={1,2,3,4}; > b:={4,5,6,7}; Setelah itu ganti tanda himpunan () dengan kata union.perhatikan contoh berikut: > a union b; 3. komplemen Dalam menyelesaikan operasi komplemen pada aplikasi Maple dapat menggunakan langkah-langkah berikut ini: Yang pertama tentukan semesta dar himpunan tersebut > s:={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; Setelah itu definisikan anggotanya dengan menggunakan pemisalan > a:={1,2,3,4}; > b:={4,5,6,7}; Kemudian tuliskan kata minus untuk menggantikan symbol komplemen > s minus a; > s minus b; Dalam aplikasi Maple juga dapat digunakan untuk menghilangkan anggota dalam himpunan. Perintah yang digunakan yaitu remove kemudian kurung buka has lalu koma dilanjutkan oleh spasi huruf pemisalan himpunan koma lalu urutan anggota yang ingin dihilangkan yang terkhir kurung tutup kemudian titik koma. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini: > a:={1,2,3,4,5}; > remove(has, a,4); > b:=remove(has, a,4); DAFTAR PUSTAKA Lipschutz,Seymour. 1995. Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga. Wahyudi. 2006. Himpunan.Jakarta: Karunika LAMPIRAN Pembuktian sifat-sifat himpunan pada aplikasi Maple 1. sifat komutatif dimana A irisan B=B irisan A atau A gabungan B=B gabungan A > restart; > a:={1,3,5,7,9}; > l:={2,3,4,4,5,6,8,9}; > a intersect l; > l intersect a; > a union l; > l union a; terbukti sifat komutatif 2. sifat asosiatif (A gabungan B) gabungan C = A gabungan (B gabungan C) (A irisan B) irisan C = A irisan (B irisan C) > restart; > a:={1,2,3,4,5}; > b:={2,4,5}; > c:={2,4,6,8}; > (a union b) union c; > a union (b union c); > (a intersect b) intersect c; > a intersect (b intersect c); terbukti bersifat asosiatif 3. sifat idempoten A gabungan A=A A irisan A=A > restart; > m:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; > m union m; > m intersect m; terbukti memiliki sifat idempoten 4. sifat identias a gabungan S= S a irisan S= a > S:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; > a:={2,4,6,8}; > a union S; > a intersect S; terbukti sifat identitas 5. sifat distributif A gabungan (B irisan C)= (A gabungan B) irisan ( A gabunganC) A irisan (B gabungan C)= ( A irisan B) gabungan (A irisan C) > restart; > k:={1,3,5,7,9}; > l:={2,4,6,8,9,10,11}; > m:={1,3,5,7,9,11}; > k union (l intersect m); > (k union l) intersect (k union m); > k intersect (l union m); > (k intersect l) union (k intersect m); terbukti bersifat distributif 6. sifat komplementer a gabungan a komplementer = S a irisan a komplementer= himpunan kosong > restart; > S:={1,3,5,7,9}; > a:={3,5,7}; > a union (S minus a); > a intersect (S minus a); terbukti bersifat komplementer 7. sifat de morgan (a gabungan b) komplementer= a komplementer irisan b komplementer (a irisan b) komplementer= a komplementer gabungan b komplementer > restart; > s:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; > x:={1,2,3,4}; > y:={2,4,6,8,10}; > s minus (x union y); > (s minus x) intersect (s minus y); > s minus (x intersect y); > (s minus x) union (s minus y); > terbukti bersifat de morgan